Asíntotas
verticales
     x=a es una asíntota vertical
           si

Calcular las asíntotas verticales de
     Calculamos las raíces del polinomio denominador:
                           x
2-4=0 ⇒ x=±2
     Cuando x
2, comprobamos que f(x)→ ∞
     con lo que efectivamente x=2 es una asíntota vertical
.
     
Conviene ver el comportamiento de la función en los alrededores de x=a, para ello calculamos el límite por la izquierda y por la derecha, obsérvese que ya sabemos que es infinito, sólo queda discernir el signo de cada uno. Basta sustituir en cada caso un valor próximo a 2 a la izquierda o derecha respectivamente y ver el signo del cociente.
 resolver inecuación       y   
     
Análogamente procedemos cuando x
-2

Comprueba las asíntotas verticales de la funciones:
 • f(x)=x2/(x2-2x-3);     A.V.: x=-1, x=3
 • f(x)=x2/(x2-x);          A.V.: x=1, ¿por qué x=0 no es
   asíntota?

• f(x)=x2/(x2-9);           A.V.: x=-3, x=3

Escribe arriba el valor de las raíces del denominador, a continuación cambia el valor de x o arrastra el punto balnco con el ratón.
Puedes emplear esta escena para comprobar las A.V. de las funciones propuestas. Pulsa antes "Limpiar"

Asíntotas
horizontales
    y=a será asíntota horizontal
          si =a

Calcular las asíntotas horizontales de
      Calculamos el límite de la función en el infinito:
                  entonces y=1 es A.H.
      En este caso el limite en
-∞ es el mismo.

Es interesante conocer si la gráfica de la función se aleja por encima o por debajo de la asíntota. Para esto calculamos el signo de f(x)-b cuando x se hace muy grande o muy pequeño; si f(x)-b>0 entonces f(x)>b y la función va por encima, y lo contrario si f(x)-b<0.

En nuestro caso: f(x)-1=4/(x
2-4)>0 tanto para valores grandes de x como para x→-∞, luego la curva se acerca a la asíntota por encima como apreciamos en el gráfico.

Comprueba cómo varía la asíntota horizontal de la función f(x)= al cambiar el valor de a.
Recuerda que
En la escena está dibujada la función del ejemplo y su asíntota y=1.
Cambiando el valor de "a" se dibujan las distintas funciones y sus asíntotas que permiten comprobar el ejercicio.

Asíntotas
oblicuas

     y=mx+n es asíntota oblicua
        si
f(x)= y =m
        siendo n=(f(x)-mx)

Calcular las asíntotas oblicuas de la función f(x)=
     Como =, no hay asíntota horizontal.
     entonces quizás la función tenga asíntota oblicua.

     Para comprobarlo obtenemos:
           m = = = 1
     luego en efecto la recta y=x+n es asíntota oblicua,
           n ==0
                                    la asíntota es la recta
y=x

Dividiendo el numerador de f(x) entre el denominador
obtenemos: =x+
y este segundo sumando tiende a 0. cuando x
→∞
comprobamos pues que el límite en el infinito de la curva y la recta y=x es el mismo.

Escribe arriba el valor de m y n, se dibujará la asíntota.
Comprueba las asíntotas oblicuas de la funciones:
 • f(x)=x2/(x+1),        A.O.: y=x-1
 • f(x)=2x3/(x2+1),    A.O.: y=2x
Escribe la fórmula de la función y=f(x), pulsa "Enter" y se dibujará, luego sigue el proceso anterior.

 
Mª José García Cebrian, 2006