Ecuación del plano

Un plano del espacio queda determinado cuando conocemos un punto P del mismo y dos vectores u y v, no nulos y linealmente independientes contenidos en el plano, llamados vectores directores del mismo.

Sea un plano π que tiene como vectores directores
u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) y pasa por un punto P0(x0,y0,z0), si P(x,y,z) es un punto cualquiera del plano: OP=OP0+tu+sv.

  • Que expresada en coordenadas:
(x,y,z)=(x0,y0,z0)+t·(u1,u2,u3)+s·(v1,v2,v3)
ECUACIÓN
VECTORIAL
  • A partir de aquí podemos escribir:
x=x0+t·u1+s·v1
y=y0+t·u2+s·v2
z=z0+t·u3+s·v3
ECUACIONES
PARAMÉTRICAS
  • Los vectores PP0, u y v son dependientes:
        x-x0=t·u1+s·v1
        y-y0=u2+s·v2
        z-z0=t·u3+s·v3

desarrollando: Ax+By+Cz=D

ECUACIÓN
GENERAL
  • Si n=(A,B,C) es un vector normal al plano y P0(x0,y0,z0) un punto del mismo
A·(x-x0)+B·(y-y0)+C·(z-z0)=0
ECUACIÓN
NORMAL

De la ecuación vectorial a la general

Hallar la ecuación de un plano que tiene como vectores directores
u(2,0,0), v(0,2,0) y pasa por el punto P0(1,1,2).

  • Ecuación VECTORIAL:           
    (x,y,z)=(1,1,2)+t(2,0,0)+s(0,2,0)
  • Ecuaciones PARAMÉTRICAS:  
    x=1+2t, y=1+2s, z=2
  • Ecuación GENERAL:
    Desarrollando el determinante:

    resulta 4z-8=0 ó z=2

 

 

Calcula
   •La ecuación del plano de vectores directores
    u(2,1,-1) y v(-1,2,0) y que pasa por el punto
    P(1,1,1).
   •La ecuación del plano que pasa por los puntos
    P(1,3,-1), Q(-2,4,0) y R(0,0,1).
Puedes cambiar la perspectiva de la escena arrastrando suavemente la figura con el ratón.
Da valores a t, pulsando las flechas y calcula puntos del plano.
Cambia los valores de los vectores y del punto para calcular la ecuación de distintos planos.

Ecuación normal del plano
Otra forma de determinar la ecuación de un plano es conociendo un punto del mismo y un vector normal al plano.

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto
P
0(1,1,2) y tiene como vector normal n=(1,-1,2)

  • El plano pasa por el punto P0(1,1,2);
    si P(x,y,z) es un punto cualquiera del plano,
    el vector que los une v=(x-1,y-1,z-2)
    es del plano y ortogonal a n
                       nvn·v=0
    con lo que la ecuación del plano es:
               1·(x-1)-1·(y-1)+2·(z-2)=0
           x-1-y+1+2z-4=0 ⇒ x-y+2z=4

Observa que el vector (A,B,C) es normal al plano de ecuación general Ax+By+Cz=D

Calcula
   •La ecuación del plano de vectores normal
    n(2,1,-1) y que pasa por el punto P(1,1,1).
   •La ecuación de los planos cartesianos.
Puedes cambiar la perspectiva de la escena arrastrando suavemente la figura con el ratón.
Cambia los valores de A, B, C y del punto para calcular la ecuación de distintos planos.
ver más ecuaciones de planos

 
Mª José García Cebrian, 2006