La imagen se divide en tres planos paralelos al plano mismo de la pintura. En el más cercano se encuentran, de rodillas, los donantes, un hombre y una mujer, que son quienes encargaron y pagaron la obra. Él viste una saya roja y cubre su cabeza con un tocado, parecido a un turbante, típico de los nobles florentinos. Ella está cubierta con una gran capa azul oscura, que le cubre desde la cabeza hasta los pies. Ambos se encuentran fuera del arco que encuadra a los demás personajes y que sirve de marco para el resto de la escena. En el segundo plano se sitúan los tres personajes coetáneos de Cristo, San Juan Evangelista, María, ambos de pie, y el mismo Cristo, en la cruz. San Juan viste de rojo y María, de azul, como es habitual en la iconografía sagrada. Observemos que la distribución de colores del que hemos llamado primer plano –el donante a la izquierda en rojo, su mujer , a la derecha de azul- es simétrica especularmente en este segundo plano –María, de azul, a la izquierda, San Juan, de rojo, a la derecha. Todavía tenemos un tercer plano más al fondo. En él está Dios Padre, también de pie, pero más en alto, sobre una repisa que se alza detrás de la cruz, a la altura de los ojos de María y Juan. Desde él, extendiendo ambos brazos sujeta la cruz. Va vestido con una saya roja sobre la que lleva una capa azul; de esta manera uno de sus hombros, el izquierdo, aparece en color rojo, el otro, el derecho, en color azul. Nuevamente la alternancia de colores enfrentados. Si unimos en la imagen las figuras en rojo y las figuras en azul, obtenemos una doble z entrelazada.

Los tres planos descritos quedan subrayados por este particular uso alternado del color. Pero éste no es el único factor que contribuye a señalar planos de la escena. Se aprecia en esta obra también un eje temporal. Los donantes, en el primer plano, son contemporáneos del autor, son por tanto personajes del siglo XV. El segundo plano, el de la crucifixión, marca un momento temporal distinto, el de la vida y muerte de Cristo. Dios Padre, al fondo, suspendido en el espacio, queda situado en un plano suspendido en el tiempo, indefinido, de algún modo atemporal, aunque sus manos trasciendan ese plano, lo atraviesen y emerjan bajo la cruz, sujetándola.

Imaginémonos ahora a nosotros mismos como espectadores que contemplamos el cuadro, paseando por la iglesia de Santa María Novella. Sí, nosotros constituimos el cuarto plano, en un cuarto momento temporal. Nos encontramos fuera del espacio representado en la imagen, geométricamente delante de los donantes y fuera también de los tiempos representados en la escena, en nuestro presente, en el siglo XXI.

Observemos también la luz en este cuadro. Los donantes se hallan fuera del arco y están bastante iluminados, sus ropas brillan. Los personajes del segundo plano se encuentran bajo el intradós del arco. La luz disminuye y las sombras juegan su papel dibujando volúmenes en los pliegues de sus vestidos y en sus rostros. El tercer plano se pierde al fondo, la luz que llega hasta él es mucho menor; todo se oscurece y desdibuja.

Por último, observemos la arquitectura representada en esta imagen. Hemos hablado ya del arco, que se apoya sobre dos columnas con capiteles jónicos. A los lados hay dos pilares estriados, rematados por capiteles corintios. Otro arco, similar al primero y paralelo a él, se distingue al fondo. Entre ambos, se extiende, nuevamente en profundidad, una bóveda de cañón decorada con casetones. Todo ello está dibujado cuidadosamente en perspectiva. Esta obra es históricamente la primera representación en perspectiva realizada de una manera matemática.

Las líneas de la imagen confluyen todas en un único punto, el punto de fuga, que se encuentra en los pies de la cruz. Matemáticamente el punto de fuga se debe situar en la línea del horizonte y como el horizonte es lo que se encuentra en la horizontal de nuestra visión, este punto se ha de situar a la altura de los ojos del espectador que se pasea por la nave de la iglesia, como efectivamente sucede. El eje espacial, cercano-lejano, geométricamente definido por la perspectiva, subraya así, de nuevo, el eje temporal, más cercano en el tiempo – más alejado, el eje de la composición en planos, el eje, por último, de la luz iluminado-oscuro.

Pero en el espacio de tres dimensiones hay tres ejes y hasta ahora sólo hemos hablado de uno. Analicemos ahora brevemente los otros. El eje vertical viene subrayado por la simetría de la imagen; es el eje de simetría de la cruz, del rostro del Padre, el eje que hace simétricas en su disposición las figuras de los donantes, la de María y Juan. Este eje junto con el primero que comentamos, definen un plano que es el de simetría de la bóveda, de los arcos, de la arquitectura toda representada en esta obra. Por último, el horizontal viene remarcado de muchas maneras y escalona la imagen en un sentido ascendente: la línea del suelo sobre la que se arrodillan los donantes, la del suelo de la escena de la cruz, la de la repisa sobre la que se apoya la figura del padre, la de los brazos de Cristo y los de la cruz, la de los capiteles de las columnas que sostienen el arco.

El último elemento compositivo que señalaremos es también un elemento geométrico: el triángulo. Las cabezas de los donantes junto con la del Padre definen un triángulo más o menos equilátero. Otro triángulo equilátero tiene sus vértices en la cabeza de Cristo y las de la Virgen y San Juan. Por último, las manos de Cristo y sus pies forman un tercer triángulo, esta vez con el vértice hacia abajo, enfatizado por los brazos horizontales de la cruz.

De la geometría en el arte, pasemos ahora al arte en la geometría, introduciendo así la siguiente imagen que visitaremos en nuestro paseo. Se trata de una ilustración para un libro y la hizo Leonardo da Vinci.

Hexaedro truncado vacío. Leonardo da Vinci.

El autor del libro era un amigo suyo, Luca Pacioli (c. 1445-1517), fraile franciscano y matemático, famoso autor de un libro que pretendía ser el compendio de todas las matemáticas de la época, al que tituló Suma aritmética, geométrica, de propociones y proporcionalidad.

Pero el libro en el que aparece la imagen que contemplamos es otro. Se titula La divina proporción, que es el nombre con el que este fraile denominaba a la proporción de oro, de la que ya hemos hablado. En este libro habla de las maravillas casi místicas del número de oro, y de su presencia en los poliedros regulares y en algunos otros objetos. Dado el tema del libro, fra Luca necesitó figuras para que el lector pudiera seguir sus explicaciones. Amigo de Leonardo, con el que había compartido muchas conversaciones sobre arte y matemáticas, y un viaje -en el que por cierto se alojaron en casa de León Battista Alberti- encargó a éste las ilustraciones.

Leonardo hizo los dibujos probablemente “del natural”, es decir mirando las figuras geométricas que el mismo fra Luca había construido y que le acompañaban en sus viajes. Esto lo podemos deducir de los hilos de los que penden las figuras y que dan este aspecto realista bastante alejado de lo puramente geométrico.

En el rótulo superior podemos leer el nombre dado por Pacioli a este poliedro: EXAEDRON ABSCISVS VACVVS, es decir, hexaedro truncado vacio. Esto nos da una idea de cómo se puede generar esta figura. Partimos de un hexaedro o cubo. Observando un vértice, vemos que de él parten tres aristas. Los puntos medios de estas tres aristas definen un plano. Trunquemos el cubo siguiendo ese plano, es decir, cortemos la punta por un plano que pase por los tres citados puntos. El corte nos definirá un triángulo. Debemos repetir esta operación para cada uno de los ocho vértices del cubo, obteniendo, por tanto, ocho triángulos, uno por cada uno de los vértices. Pero al realizar estos cortes las antiguas caras del cubo se transforman. Originalmente eran cuadrados. Al trazar las líneas que unen los puntos medios de cada lado obtenemos nuevamente cuadrados, aunque más pequeños y girados con respecto a los originales 45º. En resumen, por cada vértice del cubo hemos creado un triángulo y cada cara del cubo se ha transformado en un nuevo cuadrado. Tenemos por tanto una figura formada por 14 caras,  8 triángulos equiláteros y 6 cuadrados.

El número de vértices es también fácil de contar: hay un vértice por cada lado del antiguo cubo, es decir, nuestra figura tiene 12 vértices. En cuanto al número de aristas, lo podemos deducir de la famosa fórmula de Euler, que afirma que el número de caras más es el de vértices es igual al de aristas mas dos. Tenemos 14 caras y 12 vértices, lo que hacen 26; restándole a 26 dos obtenemos 24 que es el número de las aristas.

El proceso generativo que hemos seguido para crear la figura podríamos haberlo hecho partiendo de un octaedro (poliedro regular con 8 caras triángulares), cortando, también en este caso, las puntas por planos que unen los puntos medios de cada lado. Nuestra figura es por tanto un híbrido entre el cubo y el octaedro. De hecho, es la parte común a un cubo y un octaedro concéntricos en los que los puntos medios de las aristas coincidan. Kepler lo llamo cuboctaedro, señalando esta bivalencia.

El autor de La divina proporción, como se verá más adelante, justificará el salto que estamos a punto de dar hasta Milán para contemplar nuestra siguiente imagen. Se trata de la Pala de Brera, obra de Piero della Francesca (1416-1492), pintor , tratadista de pintura y matemático autor varios libros sobre geometría, aritmética y perspectiva. Realmente el viaje a la búsqueda de esta nueva imagen nos debiera haber llevado a Urbino, el ducado gobernado por los Montefeltro en los finales del siglo XV, época en la que esta obra fue pintada, pero los designios del destino hicieron que en la actualidad para contemplarla tengamos que ir a la pinacoteca de Brera, en Milán.

Pala de Brera. Piero dela Francesca. 1472.

Desde el punto de vista de la composición esta obra tiene muchos puntos en común con la Trinità de Masaccio. Nuevamente tenemos varios planos compositivos, el del donante, Federigo de Montefeltro, duque de Urbino, mecenas del arte y de la ciencia en su ducado. Aparece vestido digamos de domingo, es decir, con su mejor y más brillante armadura, arrodillado, de perfil, en postura orante. En un segundo plano, dispuestos de manera simétrica con respecto al eje vertical, aparecen la Virgen, con el Niño sobre las rodillas y seis personajes que representan a otros tantos santos, tres a cada lado. La simetría viene subrayada por infinidad de detalles: desde el gesto de las manos de la Virgen, hasta la disposición de los tres personajes situados a cada lado. Incluso las posturas de las manos de estos están dispuestas a uno y otro lado de manera mas o menos simétrica. Lo único que rompe esa simetría es la figura del Niño, convirtiéndolo de este modo en foco de atención y centro, no sólo geométrico, del cuadro: toda la escena sucede y se desarrolla a su alrededor. Un tercer plano esta constituido por otros cuatro personajes, intercalados en el eje horizontal entre los otros, en dos grupos de dos, de manera simétrica también con respecto al eje vertical. Se trata de ángeles. Observemos sus caras y comparémoslas con la de los seis santos a los lados en el plano anterior. Mientras unas son realistas y parecen retratos reales de personajes reales, las de los ángeles resultan increíbles en el más literal sentido de la palabra. Podemos habernos cruzado por la calle con personas con rostros similares a los de los seis santos de este cuadro. Basta imaginarlos vestidos con ropa actual y podemos imaginarlos subidos en el autobús que nos lleva a clase por las mañanas. Sin embargo los ángeles no. No hay rostros reales como esos.

Nuevamente el eje transversal del cuadro, los distintos planos perpendiculares a él, definen una dimensión no sólo física sino también simbólica, subrayada otra vez por la arquitectura de la bóveda, por la perspectiva. Del plano real en el que nos situamos como espectadores vivos ante el cuadro, podemos movernos en profundidad y, pasando por el plano de Federigo de Montefeltro, el de los Santos, personajes reales que vivieron, pero que en su indumentaria recogen ya elementos simbólicos que los identifican, llegar hasta el de los ángeles, personajes místicos, irreales, de formas arquetipificadas. Un eje por tanto que se mueve de lo real a lo irreal, de la realidad tridimensional a lo etéreo de los cielos.

Si miramos hacia el fondo, en alto, nos encontramos con el otro centro de atención, un huevo de avestruz colgado de una cadena, suspendido en medio de la escena sobre las cabezas de nuestros personajes. Un huevo que pende de una concha que sirve de unión entre la bóveda y la exedra absidial del fondo de la capilla. No cabe duda de que ambas cosas, el huevo y la concha tienen un carácter simbólico, probablemente de nacimiento, de nueva vida. En 1472, año en el que Piero comenzó a pintar este cuadro, había nacido Guidobaldo de Montefeltro, único hijo de Federigo. El nacimiento de Cristo se ponen por tanto en relación con el del heredero de la casa de los Montelfeltro.

La luz entra a través de la nave transversal, que intuimos en la geometría de las bóvedas, por la izquierda y desde el frente hacia el fondo. Observemos la perfección y la finura de la sombra del arco sobre la superficie estriada de la concha, la iluminación del huevo que define su volumen. Piero domina la perspectiva y usa la luz para subrayarla dando profundidad a la escena: Federigo, arrodillado en el primer plano, recibe poca luz; los otros planos en los que se sitúan los personajes quedan más iluminados cuanto más al fondo se disponen en la escena.

Cuando afirmábamos que los personajes de los santos parecen retratos jugábamos con la ventaja de quien oculta parte de la información que posee. Della Francesca debió de usar algunos de sus amigos como modelos para este cuadro. De hecho, del grupo de tres de la derecha, el del centro, San Pedro Mártir, tiene los rasgos de un personaje del que ya hemos hablado: Fra Luca Pacioli. Piero, que había nacido en la misma ciudad que Pacioli, en Sansepolcro, había sido uno de los maestros de fra Luca en su infancia y le había enseñado sin duda algunos elementos de matemáticas.

Y puesto que de enseñar matemáticas estamos hablando, demos un nuevo salto esta vez a Nápoles, para ver en el Museo de Capodimonte la siguiente imagen de nuestro paseo. El autor de este nuevo cuadro es desconocido, aunque se atribuye a un tal J. Barbari.

Luca Pacioli (cuadro atribuido a J. Barbari)

Se trata de una clase de matemáticas, de geometría para ser precisos. El maestro es fra Luca Pacioli nuevamente. El alumno Guidobaldo de Montefeltro, el hijo de Federigo, cuyo nacimiento había sido celebrado en la imagen anterior. El cuadro está lleno de simbología matemática: delante de Pacioli, sobre la mesa, aparece una pizarra con un dibujo geométrico. Al lado hay un trozo de tiza. A la derecha, encuadernado en rojo, hay un libro. Se trata de la Summa arithmetica del propio Pacioli. Sobre este libro hay un dodecaedro. A la izquierda, suspendido en el aire hay otro poliedro de vidrio, se trata de un rombicuboctaedro, otro de los trece poliedros semirregulares estudiados por Arquímedes. Está lleno de agua hasta la mitad. Le falta la cara superior y a través de ese hueco entra en su interior el cable que lo sostiene y que está anclado a una anilla en la cara opuesta, la inferior. Nuevamente los poliedros como motivo repetido en nuestro paseo renacentista. La mano izquierda de Pacioli esta apoyada sobre un libro abierto; es un ejemplar de los Elementos de Euclides. La derecha sujeta una varilla con la que señala en la pizarra. Sobre la mesa hay también un compás y una escuadra. La austeridad del hábito franciscano de Pacioli contrasta con la riqueza de las ropas de Guidobaldo. La mirada del joven, atenta hasta hace un momento a las explicaciones de su maestro, se dirige ahora hacia el espectador, como si de una fotografía instantánea se tratase.  Es una clase particular la que el maestro da al joven noble. La pizarra, en contraste con lo que sucede en nuestras aulas, puede por ello situarse en el plano horizontal, ya que sólo debe ser observada por una persona.

Encontramos también aquí tres planos paralelos al del cuadro: el de los objetos de la mesa, el de fra Luca y el de Guidobaldo, que se encuentra ligeramente detrás de su maestro. De nuevo encontramos los efectos de luz, que entrando por la izquierda, ilumina los objetos, los rostros, pero mantiene oscuro el fondo; y nuevamente la perspectiva, en este caso observable en la pizarra, en el libro, en la misma mesa del primer plano, en los poliedros.

Nuestro paseo se acerca ya al final. Nuestra última etapa nos llevará de nuevo al norte de Italia, a Bolonia. La imagen que allí nos espera no es un cuadro, no es tampoco una figura geométrica. Se trata de una fórmula algebraica, pero como observaremos, no por ello carece de belleza. En nuestro lenguaje actual  la podemos escribir así:

y es la fórmula para resolver las ecuaciones de tercer grado de la forma

x³ + px = q        el gran avance de la matemática renacentista.