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Resoluci髇

de problemas

 

 

REDUCCI覰 AL ABSURDO Y DEMOSTRACI覰 INDIRECTA

 

Son dos m閠odos diferentes, pero relacionados:

 

La reducci髇 al absurdo demuestra la falsedad de una afirmaci髇 deduciendo de ella alguna contradicci髇.

 

La demostraci髇 indirecta establece la verdad de una afirmaci髇 demostrando la falsedad de la afirmaci髇 contraria.

 

Veamos dos ejemplos cl醩icos:            

 

            Demostrar que hay infinitos n鷐eros primos (resultado de Euclides).

Supongamos que los n鷐eros primos no son infinitos. Entonces, ser韆n finitos:

 2, 3, 5, 7,... P

Siendo  P  el mayor de todos los n鷐eros primos.

Consideramos ahora el n鷐ero H = (2򉁭7 ...稰) + 1

H no es primo, pues es mayor que P. Entonces H debe tener alg鷑 divisor primo.

Pero si dividimos H por cualquiera de los n鷐eros primos, obtendremos resto 1, por la forma en que se ha definido H.

hemos llegado a una contradicci髇. Luego la afirmaci髇 inicial es cierta.

           

En el anterior ejemplo, hemos demostrado un teorema combinando los dos m閠odos: demostraci髇 indirecta y reducci髇 al absurdo. En efecto, para demostrar el teorema hemos refutado su contrario. Y para refutar 閟te, de 閘 hemos deducido una contradicci髇.

 

Tambi閚 es c閘ebre la demostraci髇 indirecta de Cantor para demostrar que el conjunto de los n鷐eros reales no es numerable. Supone que todos los n鷐eros reales pudieran ser dispuestos formando una sucesi髇:

 

r1 = N1, a1a2a3a4a5 ...

r2 = N2, b1b2b3b4b5 ...

r3 = N3, c1c2c3c4c5 ...

                                   ..................................

y, a partir de dicha sucesi髇, por un "proceso diagonal", construye un n鷐ero

 

r = 0, a b c ...

 

donde a es una cifra distinta de a1, de 0 y de 9 (para evitar las ambig黣dades del tipo 0,999... = 1,000); b es una cifra distinta de b2, de 0 y de 9, y as sucesivamente.

 

Este n鷐ero r difiere de r1 en la primera cifra decimal, difiere de r2 en la segunda cifra decimal, y as sucesivamente. Por lo tanto, no puede estar en la sucesi髇, lo cual es contradictorio con la hip髏esis inicial. Luego R no es numerable.

 

Estos m閠odos han encontrado la oposici髇 de algunos fil髎ofos y l骻icos (Intuicionismo, Brouwer) que renuncian a las demostraciones por reducci髇 al absurdo y s髄o proponen rdemostraciones por construcci髇. Kolmogorov prescindi del Principio del Tercio Excluso (principio de no contradicci髇) construyendo una L骻ica No Aristot閘ica, de modo semejante a la existencia de Geometr韆s No Eucl韉eas.

 

En el terreno del aprendizaje, la objeci髇 se formula as:

         

"Atendiendo a una demostraci髇 de este tipo, debemos fijar constantemente nuestra atenci髇 sobre una hip髏esis falsa que despu閟 debemos olvidar, y no sobre el teorema correcto que debemos retener".

 

En una demostraci髇 constructiva se tiene un objeto tangible, mientras que en la reducci髇 al absurdo s髄o se tiene una contradicci髇.

 

La atenci髇 a esta objeci髇 nos lleva a reformular el problema para transformar la demostraci髇 indirecta en un razonamiento constructivo, pasando de un "problema por demostrar" a un "problema por resolver".

 

Ejemplo: En el caso de la infinitud de los n鷐eros primos, el nuevo problema ser韆 "Dados los n n鷐eros primos p1, p2, p3,... pn, encontrar un nuevo n鷐ero primo pn+1 diferente de todos los n鷐eros primos dados".

El n鷐ero p12 3 ... pn+ 1, o bien es primo o contiene factores primos que han de ser distintos de los n hallados previamente. Puesto que estos factores primos pueden hallarse por ensayos directos, estamos seguros de que, en todo caso, hay al menos un nuevo factor primo pn+1.

 

Procediendo de este modo se ve que la sucesi髇 de los n鷐eros primos construibles siempre puede ser ampliada y no tiene fin, sin necesidad de considerar situaciones imposibles.

   

 

 

 

(C) Jos Mar韆 Sorando Muz醩

jmsorando@ono.com