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Resolución

de problemas

 

LAS FASES DE RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA

El proceso de resolución de un problema conlleva trabajar en 4 niveles diferentes de abstracción-concreción:

NIVELES DE ABSTRACCIÓN.

Nivel 1. Situación de partida.- Suele aparecer una situación no estructurada. Su simple descripción puede suponer un gran esfuerzo.

Nivel 2. Problema.- Una abstracción individual de la situación planteada puede conducir a establecer el problema.

Nivel 3. Formulación del problema.- La definición explícita del problema requiere establecer claramente los elementos que componen el sistema, sus atributos, las relaciones entre los elementos...

Nivel 4. Modelo matemático.- Finalmente hay que llevar la descripción anterior a modelos matemáticos que nos den una representación formal de la esencia de los problemas. Es en este nivel donde el matemático emplea procedimientos para resolver el problema en términos matemáticos. Implementar la solución en la realidad conduce a un recorrido inverso de concreción.

El proceso de formación de modelos matemáticos queda reflejado en este esquema (Estandares NCTM, pág.140):

MODELOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Son modelos que proponen cómo actuar ante los problemas:

En el caso de Polya, describiendo el comportamiento de un resolutor de problemas IDEAL que recorre linealmente cuatro fases, pasando de una a otra sólo cuando la anterior ha concluído.

Mason, Burton y Stacey, por su parte, analizan los comportamientos de los resolutores REALES, con sus altibajos, retrocesos, inspiraciones, reacciones, sensaciones y emociones, dando un enfoque positivo de los atascos y errores.

Bransford y Guzmán proponen HÁBITOS mentales útiles.

 

MODELO

POLYA

BRANSFORD (IDEAL)

MASON, BURTON y STACEY

GUZMÁN

  

F

A

E

S

 

Comprender el problema

Identificación

Abordaje

Familiarización

Definición y representación

Concebir un plan

Exploración de posibles estrategias

Ataque

Búsqueda de estrategias

Ejecutar el plan

Actuación, según una estrategia

Llevar adelante la estrategia

Examinar la solución

Logros. Observación y evaluación de los efectos de nuestra actuación

Revisión

Revisar el proceso y sacar consecuencias de él

AYUDAS didácticas y psicológicas

Sugerencias heurísticas

 

Rotulado

Monitor interior

Autorretrato heurístico

. En la fase comprensión y abordaje del problema,

- Se debiera comenzar por el estudio cualitativo de la situación, no por la búsqueda inmediata de fórmulas.

 - Burton, Mason y Stacey proponen plantearse:   ¿Qué sé?

                                                                        ¿Qué quiero?

                                                                        ¿Qué puedo usar?

 - Habrá que organizar la información y hacer representaciones gráficas.

 - Plantear el problema de otra manera supone una mayor comprensión del enunciado.

 - Es el momento de considerar cuál es el interés de la situación planteada, esclareciendo el propósito de nuestro trabajo para que éste sea realmente un proyecto personal.

. En la fase de búsqueda de estrategias, se evitará el puro ensayo y error.

- Polya propone: Determinar la relación entre datos e incógnita.

                         Si no se encuentra tal relación, considerar un problema auxiliar.

                         Obtener un plan de solución.

- La riqueza de posibilidades dependerá de nuestra experiencia en el uso de estrategias (más adelante se relacionan).

 . En la fase de actuación según el plan adoptado,

- Cada operación debiera ir acompañada de una explicación de lo que se hace y para qué se hace. Ello ayuda: a comprender del problema, a repasar el camino de principio a fin y a la valoración externa.

 .La fase de revisión es decisiva para que se produzca un aprendizaje duradero. Guzmán propone una doble reflexión:

 * Reflexión sobre el problema

- se empieza por la necesaria comprobación de la solución (corrección de los cálculos y de los razonamientos, consecuencias de la solución, unicidad y adecuación al problema).

- luego, reflexión sobre el proceso seguido (ideas y momentos clave, influencia de cada condición, depuración del proceso: ¿puede expresarse más claro?, ¿puede hacerse de otra manera?).

 Ejemplo: Si el problema consiste en determinar el área lateral de un tronco de cono, conociendo los radios de las bases y la altura, puede hacerse restando las áreas laterales de dos conos (Polya, p.169). Se llega a la fórmula:

              que podremos interpretar como: perímetro de la sección media x altura oblícua

-aprovechamiento de la solución encontrada. La forma más frecuente consiste en intentar dar respuesta a preguntas del tipo ¿qué pasaría si...? Y esto podemos hacerlo en varios sentidos:

generalización a un contexto más amplio.

mediante un método más general o cambiando condiciones que den lugar a nuevas situaciones -los problemas interesantes suelen venir por grupos, como las setas.

particularizando en algún caso interesante; buscando problemas análogos o isomorfos).

Ejemplo: Dadas las tres dimensiones (largo, ancho y altura) de un paralelepípedo rectangular, determinar la diagonal.

Si conocemos la solución de este problema, podemos fácilmente resolver uno de los siguientes (Polya):

.Dadas las tres dimensiones de un paralelepípedo rectangular, determinar el radio de la esfera circunscrita.

.La base de una pirámide es un rectángulo cuyo centro es el pie de la altura de la pirámide. Dada dicha altura y los lados de la base, determinar la longitud de la arista lateral.

.Dadas las coordenadas rectangulares (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) de dos puntos en el espacio, encontrar la distancia entre esos dos puntos.

 En cada uno de los casos hemos añadido a los datos iniciales una noción nueva: esfera circunscrita, pirámide, coordenadas rectangulares. Bastará eliminarlas para encontrarse ante el problema primitivo.

Un medio de encontrar problemas fáciles de resolver a partir de un problema resuelto es considerar la incógnita del problema original como uno de los datos y uno de los datos como incógnita.

Ej: Dados el largo, el ancho y la diagonal de un paralelepípedo rectangular, determinar la altura.

Una generalización:

.Determinar la diagonal de un paralelepípedo, dadas las tres aristas, a partir de un extremo de la diagonal y los tres ángulos comprendidos entre entre las tres aristas.

Una particularización:

.Determinar la diagonal de un cubo cuya arista es dada.

Por analogía:

.Determinar el radio de la esfera circunscrita a un tetraedro regular de arista dada.

Pero la experiencia de un alumno en Matemáticas será incompleta mientras no tenga ocasión de resolver problemas que él mismo haya inventado.

* Reflexión sobre el propio estilo de pensamiento, basada en las siguientes ayudas:

 . Las ayudas didácticas y psicológicas:

-Las sugerencias heurísticas (Polya) constituyen una lista de preguntas que pueden ayudar al individuo que intenta resolver un problema y que son independientes del tema del que éste trate. Ej: ¿Conoces un problema relacionado con éste?, ¿puedes cambiar la incógnita?.

-El rotulado (B, S y M) consiste en dejar por escrito todos los procesos que se producen durante el proceso de resolución de un problema (lo que pensamos, lo que sentimos y lo que hacemos), con unos códigos de escritura breve (¡Atascado!, ¡Ajá!, etc). Ayuda a recordar. a no abandonar, a estructurar el pensamiento.

-El monitor interior (B, S y M) o tutor, consiste en la autoobservación del proceso por el propio individuo, su evaluación y control permanente, en un desglose de su consciencia.

-El autorretrato heurístico (Guzmán) se basa en el examen comparado de protocolos de resolución real de problemas propios y de otras personas (incluyendo descripciones del uso del tiempo), como medio para el autoconocimiento y la mejora. Se constata (Guzmán) en los protocolos de expertos mayor número de idas y venidas que en los novatos, quienes suelen conformarse con un único intento.

Estas ayudas contribuyen a superar los bloqueos.

Bibliografía que se cita:

- NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS (n.c.t.m.). Estandares curriculares y de evaluación para la educación matemática. Utrera (Sevilla). Sociedad Andaluza de Educación Matemática "Thales", 1991.

- POLYA, George. Cómo plantear y resolver problemas. México: Trillas, 1992. (How solve it. Primera edición de 1945).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(C) José María Sorando Muzás

jmsorando@ono.com